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（武昌工学院,湖北 武汉 430065）
【摘 要】函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题,相对于一元函数的极限问题,以二元函数为代表的多元函数的重极限,因其自变量的增加和极限趋近路径的任意性而使问题变得相对复杂,本文主要针对教学过程中遇到的一个二元函数的二重极限求解的典型例子结合相关极限理论给出五类不同的解法,更加灵活鲜明地对二元函数的极限求解方法做了相关的系统性讨论总结,拓宽了解题思路.
【关键词】二元函数的极限； 等价无穷小量代换；极坐标变换；洛必达法则
二元函数为代表的多元函数的极限定义和一元函数的极限定义均可利用“ε-δ定义[1]”给出,表面上看,多元函数的重极限的复杂度只是由于变元个数的增加引起的,但实际上,相比一元函数在x0处的点极限仅要求x从x0的左、右两侧直线趋近于x0不同,多元函数的重极限对趋近路径有更高的要求,即满足任意性（既包括沿两个坐标轴方向的直线路径,也包括更复杂的任意函数曲线路径）,因此,二元函数的极限求解问题相对复杂很多.
求一元函数的极限有许多方法,如：四则运算求极限法、等价无穷小量代换法、有界量乘以无穷小量仍为无穷小量的结论、两类重要极限、利用连续性、洛必达法则等,上述方法在条件满足的情况下可以推广到二元函数为代表的多元函数的重积分计算中,也即重积分的计算可以选择恰当的变量代换转化成一元函数的极限求解,进而使问题变得简便.
1. 先猜测极限,再用二重极限的“ε-δ定义”证明结论
2. 利用一元函数极限的“有界量乘以无穷小量仍为无穷小量”结论求解
对于一元函数的极限,有下面定理：
定理1[1] 在某一极限过程中,若α（ｘ）是无穷小量,ｆ（ｘ）是有界函数,则α（ｘ）ｆ（ｘ）仍是无穷小量.
对于上面定理,可将其推广到多元函数的重极限计算中,本例中,对函数做变形得：
3. 利用解析函数的L’Hospital法则求解
4. 利用极坐标变换计算
5. 利用二元函数的洛必达法则求解
定理3[4] 若二元函数ｆ（ｘ,ｙ）、ｇ（ｘ,ｙ）满足：（1）在（下转第143页）（上接第134页）区域Ｄ内有定义, （ｘ０,ｙ０）为Ｄ的一个聚点；（2）
６ 结论
以上就是笔者针对在教学中遇到的“0/0型”二重极限,针对此极限进行了五种不同方法的探讨,其中方法二和四均是利用了化二重极限为一元函数极限的思想,这在重积分的计算中很重要,是解决二重极限的突破口.除了以上提供的五种解法,本题还可以采用借助迫敛准则定理求解,亦可利用上下确界的极坐标变换求解,篇幅有限,恕不再做详细论述.当然,也可以对上述方法的相关条件进行适当改变,推广到三元函数等多元函数的重极限的计算问题中.
【参考文献】
［１］黄立宏.高等数学[M].复旦大学出版社,2010.
［２］倪培溉.用L’Hospital法则求解某些二元函数的极限[J].中国民航学院学报,2003（7）: 6-7.
［３］沈彩霞.二元函数极限的计算[J].河池师专学报,2002（6）: 42-43.
［４］张立新.二元函数的微分中值定理及罗比达法则[J].辽宁教育学院学报,2001（9）:21.
函数极限的定义:函数极限
［责任编辑：杨玉洁］
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函数极限的定义引用文献:
[1] 函数极限大学毕业论文范文 函数极限类专科毕业论文范文2万字
[2] 高数和函数极限硕士学位论文范文 高数和函数极限方面自考开题报告范文2万字
[3] 初中数学二次函数类论文题目 初中数学二次函数专业论文题目怎么拟
