《解题之道 在于悟法》
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方程的出现源于解决实际问题的需要,方程是刻画现实世界中等量关系,的有效的数学模型.
一元一次方程是其他类型方程的基础,在数学知识体系中起着至关重要的作用.一元一次方程的知识点包括：基本概念、等式性质、解方程等,要想高效掌握解题方法,灵活运用知识,必须掌握几种数学思想.
一、整体思想
整体思想是将注意力放在问题的整体结构上,着眼于宏观上的整体分析.运用整体思想,往往能事半功倍,出奇制胜.
点评：将x+l和x-l分别看作一个整体,通过整体移动,整体合并,解答就很简捷,同时省略了去分母的步骤,简化了去括号的过程.
应用整体思想,要从结构上对问题的条件进行分析,把握问题的整体特征,对问题进行整体处理.
二、分类思想
分类的原则是“不重复、不遗漏”.先确定分类的标准,然后将问题分成几个部分或者几种情况,逐一解决,各个击破,最后得出结论,
点评：当方程含有字母参数时,方法步骤与一般方程一样.把方程化为ax等于b的形式后,在进行“系数化为1”时,要根据等式的基本性质进行分类讨论.注意：最后的解不能合并,只能分情况进行说明,
例3 已知A.B两地相距120 km,一辆汽车以每小时50 km的速度从A地出发,另一辆货车以每小时40 km的速度从B地同时出发,两车相向而行.经过多长时间两车相距30 km?
解析：两车相遇前相距30 km：行程之和+30 km等于两地距离;两车相遇后相距30 km：行程之和-30 km等于两地距离,
设经过x小时两车相距30 km.根据题意,得：
①两车相遇前相距30 km：50x+40x+30等于120.解得x等于l;
②两车相遇后相距30 km：50x+40x-30等于120,解得x等于5/3.
答：经过l小时或5/3小时两车相距30 km
点评：对于“两车相距30 km”这个条件,要分类讨论.分别是“两车相遇前相距30 km”和“两车相遇后相距30 km”.
分类思想往往用于解决开放性问题,如解含字母参数的方程、含绝对值符号的方程,以及解决有关方案设计的实际问题.解题时需要考虑可能出现的所有情况,然后总结分析,
三、转化思想
数学学习中,转化思想无处不在,它是分析问题、解决问题的基本思想.转化的纽带是新旧知识之间的联系,
点评：本题分母不为整数,要运用“分数的基本性质”将分母化为整数,但要注意与去分母的区别.解一元一次方程的过程,实质上就是利用等式基本性質,通过去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为l等步骤同解变形,不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程,最后逐步把方程转化为x等于a的形式,体现了化未知为已知的转化思想.
例5小明从家里骑摩托车到火车站,若每小时行30千米,则比火车开车时间早到15分钟;若每小时行18千米,则比火车开车时间迟到15分钟,现在小明打算在火车开车前10分钟到达火车站,求小明骑摩托车的速度.
点评：火车开出的时间和小明从家到火车站的路程不变,直接设未知数较难,应该转变角度,合理地间接设未知数以寻求新的解决途径.
转化思想是初中数学中分析问题和解决问题的基本思想.转化是指将复杂条件转化为简单条件,将生疏问题转化为熟悉问题,将抽象问题转化为具体问题,将未知条件转化为已知条件,将正向思维转化为逆向思维等.
四、数形结合思想
数形结合思想就是将抽象的数字、符号用直观的图形体现,或者通过精确的数量计算研究图形的形状大小,即代数问题几何化或几何问题代数化,
例6 甲、乙两站相距480 km.一列慢车以每小时90 km的速度从甲站开出,一列快车以每小时140 km的速度从乙站开出,慢车与快车同时出发,同向而行,经过多少小时两车相距600 km?
解析：设经过x小时两车相距600 km,则可将此题情境用线段图表示,如图1.
根据题意得90x+600等于480+140x.
解得x等于2.4.
答：经过2.4小时两车相距600 km.
点评：用一元一次方程解决行程问题,画线段图是常用的方法.
著名数学家华罗庚说过：数缺形时少直观,形少数时难人微,数形结合百般好,隔离分家万事非,以形辅数,以数助形,能更快找到解题途径,
五、方程思想
方程思想就是利用方程来解决问题,是学习方程的目的和意义,方程思想是从问题的等量关系人手,运用代数式将条件转化为数学模型,然后通过解方程使问题获得解决,
例7某商场购进甲、乙两种服装后,都加价40%标价出售.春节期间商场搞优惠促销,决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装各一件,共付款182元,两种服装标价之和为210元.这两种服装的进价和标价各是多少元?
答：甲种服装的进价是50元,标价是70元;乙种服装的进价是100元,标价是140元.
点评：初中数学中的方程思想无处不在,最常见的就是列方程解应用题,其一般步骤如下.
（1）审题,搞清已知量和待求量,分析数量关系,寻找等量关系.
（2）根据数量关系与解题需要设出未知数,根据等量关系建立方程.
（3）解方程.
（4）检查和反思解题过程,检验答案的正确性以及是否符合题意,并作答,
其中“寻找等量关系”最为关键.
方程法实现了由算术方法向代数方法的转化,是最基本的数量关系分析方法,有等式就可以有方程,有公式就可以有方程.方程思想是初中数学的核心内容,是打好数学基础的关键,是培养数学建模能力的重要手段.
练一练
1.解方程|x-2|等于3.
2.如图2.矩形ABCD由六个颜色不同的正方形组成,若设中间最小的一个正方形边长为1.则矩形ABCD的面积为____ .
参：
1.x等于5或x等于-l.2.143
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解题之道引用文献:
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