《离心率——经久不衰的高考热点》
本文是关于高考类硕士学位毕业论文范文与心率方面参考文献格式范文.
摘 要：离心率是历年高考的热点内容,涉及巧求离心率的值、界定离心率的范围、探究离心率的最值、借用离心率交汇整合等,本文结合典型例题予以分类导析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.
关键词：离心率;经久不衰;高考热点
离心率是圆锥曲线中的一个重要元素,它的变化会直接导致曲线形状甚至类型的变化,同时它还是圆锥曲线统一定义中的三要素之一近年来,涉及离心率的问题频频出现在高考试题和各省市高考模拟试题中,且题型不断翻新,显示出旺盛的生命力！解决有关离心率的问题,除了要求对离心率的概念、几何意义深刻领会外,还常常要用到其它有关知识,因而,涉及离心率的问题不仅具有很强的综合性,而且其解法极富灵活性下面给出八道例题并予以分类解析,供参考.
1巧求离心率的值
例1（2019年全国Ⅱ卷理科第11题）设点F为双曲线C∶x2a2-y2b2等于1（a>0,b>0）的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2等于a2交于P,Q两点.若|PQ|等于|OF|,则C的离心率为（）.
A 2B 3C2D 5
解析如图1,连接OP,PF,则|OP|等于a,|PQ|等于|OF|等于c因为OF为直径,所以OP⊥PF.
所以|PF|等于c2-a2等于b.
设OF与PQ的交点为R,则
S△OPF等于12|OP|·|PF|等于12|OF|·|PR|,即12ab等于12c·c2
所以c2等于2ab等于a2+b2,解得a等于b.
所以c等于2a,e等于ca等于2故选A.
评注利用双曲线和圆的性质,结合已知条件得到关于a,c的等式,进而求得双曲线的离心率.
例2（2019年全国Ⅰ卷理科第16题）已知双曲线C∶x2a2-y2b2等于1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A等于AB,F1B·F2B等于0,则C的离心率为.
解法1如图2,因为F1B·F2B等于0,所以F1B⊥F2B.
在Rt△F1BF2中,|OB|等于|OF2|.
所以∠OBF2等于∠OF2B.
又因为F1A等于AB,所以A为F1B的中点.
所以OA//F2B所以∠F1OA等于∠OF2B.
因为∠F1OA等于∠BOF2,所以∠OBF2等于∠OF2B等于∠BOF2.
所以△OBF2为等边三角形.
由F2（c,0）可得Bc2,3c2.
因为点B在直线y等于bax上,所以3c2等于ba·c2.
所以ba等于3.
所以e等于1+b2a2等于1+32等于2.
解法2如图2,因为F1B·F2B等于0,所以F1B⊥F2B.
所以|OF1|等于|OB|.
所以∠BF1O等于∠F1BO.
所以∠BOF2等于2∠BF1O.
因为F1A等于AB,所以点A为F1B的中点.
又点O为F1F2的中点,所以OA//BF2.
所以F1B⊥OA.
因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,
所以tan∠BF1O等于ab,tan∠BOF2等于ba.
因为tan∠BOF2等于tan（2∠BF1O）,
所以ba等于2×ab1-ab2.
所以b2等于3a2.
所以c2-a2等于3a2,即2a等于c,
所以雙曲线的离心率e等于ca等于2.
评注本题的关键是细审题、画草图、会转化,可以转化为证明△OBF2为正
三角形,从而得出点B的坐标,再代入点B所在直线的方程求解（如解法1）;
也可以往角转化,再利用二倍角的正切公式求解（如解法2）,后续只需认真运算即可轻松获解.
2界定离心率的范围
例3（2019年青岛市模拟题）已知直线l∶y等于kx与椭圆C∶x2a2+y2b2等于1（a>b>0）交于A,B两点,F为椭圆C的左焦点,且AF·BF等于0,若∠ABF∈0,π12,则椭圆C的离心率e的取值范围为（）.
A0, 22B0, 63
C 22, 63D 63,1
解析如图3,设椭圆C的右焦点为F′,连接AF′,BF′.
因为AF·BF等于0,所以AF⊥BF.
又直线l∶y等于kx过原点O,所以根据椭圆的对称性知点A,B关于原点对称,所以四边形AFBF′是矩形.
所以AB等于FF′等于2c（其中c等于a2-b2）.
在Rt△AFB中,设∠ABF等于θ,则AF等于ABsinθ等于2csinθ,BF等于ABcosθ等于2ccosθ.
又根据椭圆的定义知AF+AF′等于AF+BF等于2a.
所以2csinθ+2ccosθ等于2a.
所以离心率e等于ca等于1sinθ+cosθ等于1 2sin（θ+π4）.
又θ∈0,π12,所以π4<θ+π4≤π3.
所以 22 所以 63≤1 2sin（θ+π4）<1,即e∈ 63,1 故选D. 评注本题在几何构图的基础上引入角变量,将所给问题转化为三角函数的值域问题,求解时必须注意自变量θ的取值范围. 例4（2019年福州市质检题）已知双曲线x2a2-y2b2等于1（a>0,b>0）,A1,A2是实轴端点,F是右焦点,B（0,b）是虚轴端点,若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i等于1,2）,使得△PiA1A2（i等于1,2）构成以A1A2为斜边的直角三角形,则双曲线的离心率e的取值范围是（）.A 2,+∞. A2,+∞B 5+12,+∞ C1, 5+12D 2, 5+12 解析易得直线BF的方程为bx+cy-bc等于0. 由于在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i等于1,2）,使得△PiA1A2（i等于1,2）构成以A1A2为斜边的直角三角形,说明以A1A2为直径的圆C与线段BF（不含端点）有两个不同的交点. 画图易知,首先要满足a 评注本题将几何条件转译为代数不等式求解,考查了转化与化归思想求解本题极易漏掉a 3探寻离心率的最值 例5（2019年保定市模拟题）已知圆O1的圆心为（2,0）,半径为4;圆O2∶x2+y2等于r2（0 A5+2 64B32C 2D38 解析依题意,圆O1的方程为（x-2）2+y2等于16,设动圆M的半径为R. （1）当动圆与两定圆都内切时,如图4所示,则MO1等于4-R,MO2等于R-r所以MO1+MO2等于4-r. 此时,点M的轨迹为以O1,O2为焦点的椭圆,且2a等于4-r,2c等于O1O2等于2,故其离心率为24-r. （2）当动圆与两定圆分别内切、外切时,如图5所示,则MO1等于4-R,MO2等于R+r所以MO1+MO2等于4+r. 此时,点M的轨迹为以O1,O2为焦点的椭圆,且2a′等于4+r,2c′等于O1O2等于2,故其离心率为24+r. 注意到e1>e2,所以e1等于24-r,e2等于24+r 因为1e1+1e2等于4, 故2e1+3e2等于14（2e1+3e2）（1e1+1e2）等于14（5+2e1e2+3e2e1）≥5+2 64,当且仅当 2e1等于3e2时等号成立. 所以2e1+3e2min等于5+2 64.故选A. 评注本题考查动点轨迹的求法、基本不等式的应用分析得出1e1+1e2等于4并利用常数代换法是求解问题的关键本题考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力. 例6（2014年湖北卷理科第9题）已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,点P是它们的一个公共点,且∠F1PF2等于π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）. A4 33B2 33C3D2 解法1利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解. 设PF1等于r1,PF2等于r2r1>r2,F1F2等于2c,椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,由2c2等于r21+r22-2r1r2cosπ3,得4c2等于r21+r22-r1r2. 由r1+r2等于2a1,r1-r2等于2a2,解得r1等于a1+a2,r2等于a1-a2 所以1e1+1e2等于a1+a2c等于r1c. 令m等于r21c2等于4r21r21+r22-r1r2等于41+r2r12-r2r1等于4r2r1-122+34, 当r2r1等于12时,mmax等于163,所以r1cmax等于4 33. 即1e1+1e2的最大值为4 33故选A. 解法2利用椭圆、双曲线的定义和几何性质,柯西不等式求解. 设PF1等于r1,PF2等于r2,F1F2等于2c,椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2. 依题意得2c2等于r21+r22-2r1r2cosπ3,① 在椭圆中,①式化简得4c2等于4a21-3r1r2. 所以3r1r24c2等于1e21-1② 在双曲线中,①式化简得4c2等于4a22+r1r2. 所以r1r24c2等于-1e22+1 ③ 联立②③得1e21+3e22等于4. 由柯西不等式得 1+13 1e21+3e22 ≥1×1e1+1 3× 3e22. 解得1e1+1e2≤4 33,当且仅当e1等于 33,e2等于3时等号成立,所以1e1+1e2的最大值为4 33故选A. 评注本题综合考查椭圆、双曲线的定义,离心率,余弦定理,二次函数,柯西不等式等由余弦定理得到2c2等于r21+r22-2r1r2cosπ3,考查函数与方程的思想;再利用椭圆、双曲线的定义得到4c2等于4a21-3r1r2,4c2等于4a22+r1r2,考查转化与化归的思想;由二次函数或柯西不等式求离心率的倒数之和的最大值,考查运算求解能力、推理论证能力本题难度较大,充当着“小题把关”的重要角色. 4借用离心率交汇整合 例7（2019年湖南师大附中模拟题）在等腰梯形ABCD中,AB//CD,且AB等于2, AD等于1,CD等于2x,其中x∈0,1,以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x∈0,1,不等式t A 3B 5C2D 2 解析在等腰梯形中易求得DB等于AC等于4x+1.如图6,设双曲线的实半轴长为a1,则2a1等于DB-AD等于4x+1-1如图7,设椭圆的长半轴长为a2,则2a2等于AD+AC等于4x+1+1. 所以e1+e2等于1a1+xa2等于2 1+4x-1+2x1+ 1+4x 等于 1+4x+12x+2x1+ 1+4x. 令m等于fx等于 1+4x+12x等于12 1x2+4x+1x,则fx在0,1上单调递减,所以m>f1等于 5+12. 又函數gm等于m+1m在 5+12,+∞上单调递增,所以gm>g 5+12等于 5+12+2 5+1等于5,即e1+e2> 5. 若对任意x∈0,1,不等式t 评注本题考查双曲线和椭圆的定义及几何性质、函数的单调性、不等式恒成立问题等根据双曲线和椭圆的定义结合离心率公式得到表达式,利用函数的单调性及不等式恒成立原理求得t≤ 5,进而求出t的最大值. 例8（2019年石家庄市模拟题）如图8所示,一个圆柱形乒乓球筒,高为20厘米,底面半径为2厘米球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）一个平面与两个乒乓球均相切,且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率为（）. A 154B15 C2 65D14 解析如图9,设上、下两个乒乓球的球心分别为O1,O2,椭圆与球筒边缘的交点分别为E,F,椭圆与两个乒乓球的切点分别为A,B,由题可知,O1O2等于16,O1A等于2. 过点E作EM⊥O1O2于点M,则EM等于O1A等于2. 易知△EMO≌△O1AO. 则EO等于O1O等于8. 所以EF等于16.即椭圆的长轴长2a等于16,a等于8. 椭圆的短轴长为圆柱的底面直径,即2b等于4,b等于2.所以c等于a2-b2等于2 15. 故该椭圆的离心率e等于ca等于 154故选A. 评注本题将立体几何和解析几何有机交汇在一起,立意新颖在图形的引领下,充分利用平面几何知识和离心率的计算公式而获解本题难度较大,有较好的区分和选拔功能,对考生空间想象能力、转化与化归能力要求较高. 参考文献： [1]杜志建全国各省市高考冲刺优秀模拟试卷汇编[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社,2019. [2]杜志建2020新编高考题库[M].延吉：延边教育出版社,2019. [3]薛金星2019年全国及各省市高考试题全解[M].西安：陕西人民教育出版社,2019. （收稿日期：2019-08-30） 该文评论：上述文章是关于心率方面的高考论文题目、论文提纲、高考论文开题报告、文献综述、参考文献的相关大学硕士和本科毕业论文. 高考引用文献:[1] 成人高考方向论文题目 成人高考论文题目选什么比较好
[2] 高考历史相关论文选题 高考历史论文题目选什么比较好
[3] 高考语文教学论文题目大全 高考语文教学论文题目怎样定
