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这一数学模型论文范文

模型是客观实体有关属性的模拟.陈列在橱窗中的飞机模型外形应当像真正的飞机,至于它是否真的能飞则无关紧要：然而参加航模比赛的飞机模型则全然不同,如果飞行性能不佳,外形再像飞机,也不能算是一个好的模型.模型不一定是对实体的一种仿真,也可以是对实体的某些基本属性的抽象.例如,一张地质图并不需要用实物来模拟,它可以用抽象的符号、文字和数字来反映该地区的地质结构.数学模型( Mathematical Model)也是一种模拟,是用数学符号、数学公式、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略.数学模型并非现实问题的直接翻版,它的建立常常既需要人们对现实问题做深入细微的观察和分析,又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识.这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模( Mathematical Modeling).

2 数学建模的一般步骤

1)掌握问题的实际背景,明确建模的目的,收集了解必要的数据资料.这一步骤如果只是做好准备工作,没有对实际问题的细致了解,就无法建模.为了对问题有所了解,有时还要求建模者对问题做一番深入细致地调查研究.

2)在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算,找出其主要因素,经过必要的精炼、简化,提出若干符合客观实际的假设.这一步骤是建模的关键所在,因为其后的工作和结果都是建立在这些假设的基础之上的,换言之,科学研究揭示的并非绝对真理,它揭示的只是一般规律,即假如这些提出的假设是正确的,那么得到的结果也是正确的.

3)在所作假设的基础上,利用适当的数学工具去解析各变量之间的关系,建立相应的数学结构,即建立数学模型.采用何种数学结构、数学工具要看实际问题而定,并无固定的模式.因此,数学的任何一部分在建模中都有可能被用到,而同一个实际问题也可以用不同的数学方法建立起不同的模型.所以,在能够达到预期目的的前提下,所用的数学工具越简单越好.

4)模型求解.为了得到结果,建模者还应当对模型进行求解,在无法得出或难以得出解析解时,也应当借助计算机等其他工具求出数值解.

5)模型的分析与检验.如前所说,建立数学模型研究实际课题,得到何种假设,就会有何种结果.那么,假设是否正确,建模者还应当反之用所得出的结果来检验它.建立数学模型的目的是为了认识世界、了解世界,进而改造世界,建模的结果应当能解释已知现象,预测未来,因此,只有经得住实践检验的结果才能被世人所广泛接受.模型求解并非建模的最终结果,模型的检验也应当是建模的重要步骤之一,只有在证明了建模结果是经得起实践检验以后,建模者才能认为完成了预定的研究任务.

建立一个数学模型:运筹学线性规划问题的数学模型及其图解法-1

如果检验出的结果与事实不符,只要不是在求解中存在推导或计算上的错误,那就必须分析检查假设中是否存在不合理或错误之处,修改假设并重新建模,直到结果正确为至.综上所述,数学建模的过程可以概括为：观察实际问题→（数据处理）→提出假设→建模→求解→检验→修改或应用.

3 数学模型的分类

基于不同的角度和目的,数学模型可以有多种不同的分类法.根据人们对实际问题了解程度的不同,其数学模型可以归结为不同类型的模型.把建立数学模型研究实际问题假设为一只箱子,如果问题的机理比较清楚,内在关系较为简单,这样的模型通常称之为“白箱”模型；如果问题的机理极为复杂,人们对它的了解极为肤浅,几乎无法加以精确地进行定量分析,这样的模型就称之为“黑箱”模型：而介于两者之间的模型,就称之为“灰箱”模型.当然,这种分类方法是比较模糊的,是相对而言的.随着科学技术的日益更新,模型之间也会进行角色转换.

根据模型论文范文量的特征进行分类,模型又可分为连续型、离散型或确定性、随机型模型等；根据建模中所用的数学方法进行分类,又可分为初等、微分方程、差分方程、优化等模型.此外,对一些人们较为重视或对人类活动影响较大的数学模型,也可以按研究课题的实际范畴来进行分类,如人口模型、生态系统模型、交通流模型,经济模型、基因模型等.

4 数学建模与能力的培养

在高校中开设数学建模课程的主要目的并非单纯为了传授知识,更主要的是为了提高学生的综合素质,增强他们应用数学知识来解决实际问题的能力.因此,学生在学习数学建模时应当特别注意自身能力的培养和锻炼.要想知道如何建模,除了学习基本技能与基本技巧之外,更重要的是参与,在建模实践中获取真知.在数学建模实践的每一步中都蕴含着对能力的锻炼,在调查研究阶段,需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等.在提出假设时,又需要用到想象力和归纳简化能力.实际问题经常是十分复杂的,既存在着必然的因果关系,也存在某些偶然的因果关系,这就需要从错综复杂的现象中找出主要因素,确定变量的取舍并找出变量间的内在联系.通常假设条件是围绕着两个目的提出的,一类假设是为了简化问题、突出主要因素：另一类则是为了应用某些数学知识或其他学科的知识而提出的.但不管哪一类假设,都必须尽可能地符合实际,既要做到不失真或少失真,又要便于使用数学方法进行处理,两者应尽量兼顾.例如,牛顿推导出万有引力定律所用的假设主要有4条,即开普勒的三大定律和牛顿的第二定律,他所做的工作表明,如果这些假设是对的,如果推导过程也是正确的,那么万有引力定律也是对的.万有引力被实践验证是正确的,这就同样引证了开普勒的三大定律和牛顿第二定律的正确性.当然,人的能力各有大小,不可能要求人人都有如此重大的创举.但既然从事研究,总会遇到一些别人没有做过的事,碰到别人没有碰到的困难,因此,也需要有创新的能力,这种能力不是与生俱来的,建模实践为此就提供了一个培养创新能力的机会.当然,要出色地完成建模任务还需要用到许多其他的能力,如设计算法、编写程序的能力,熟练使用计算机的能力,撰写研究报告或研究论文的能力,熟练应用外语的能力等,因此,学习数学建模和参与建模实践,实际上是一个综合能力、综合素质培养和提高的过程.

5 实例分析

根据笔者学习数学建模的注意力培养应具备的各种综合能力的过程,举一些较简单的实例来进行论证.

某人平时下班总是按预定时间到达某处,然后由他妻子开车接他回家.某天,他比平时提早30 min到达预定地点,于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子,这一天,他比平时提前了10 min到家,问此人共步行了多长时间?假如他的妻子遇到他后还像往常一样,仍旧载着他开往会合地点,那么这一天他就不会提前回家了,提前的10 min从何而来?显然是由于节省了从相遇点到会合点,又从会合点返回相遇点这一段路的缘故,故由相遇点到会合点需开车5 min.而此人提前30 min到达会合点,故相遇时他已步行25 min.

又如交通灯在绿灯转换成红灯时,有一个过渡状态,即亮一段时间的黄灯.请分析黄灯应当亮多长时间.

设想一下黄灯的作用是什么,不难看出,黄灯起的是警告作用,假如能停车,司机应立即停车.然而,停车是需要时间的,在这段时间内,车辆仍将向前行驶一段距离L.因此,在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上）.对于那些黄灯亮时已过线的车辆,则应当保证它们仍能穿过马路.

马路的宽度D是容易测得的,问题的关键在于L的确定.为确定L,还应当将L划分为Li和L2两段,其中Li是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程,L2为刹车制动后车辆驶过的路程.厶较容易计算,交通部门对司机的平均反应时间tl早有测算,而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的,目的是使交通流量最大,可以另建模型研究它,则/i等于vtI.刹车距离L2既可利用曲线拟合方法得出,也可利用牛顿第二定律计算出来.

黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了.第一步,先计算出L的距离应多大才能使看见黄灯时位于其后的司机能够停得住车.第二步,黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路,即T至少应当达到(L+D)lv.

对于一些较简单的问题,只需要应用初等数学或简单的微积分知识即可建模加以研究.而对于一些过于复杂的“黑箱”模型,如果目前还没有可能做出深入细致的研究,那么,应用初等方法对它先作一番粗略的分析研究也是十分有意义的.下面,笔者将结合实例,介绍一些对问题作粗略研究的方法.

假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器,你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度,假定你能准确地测定时间,你又怎样来推算山崖的高度呢,请分析这一问题.

空气的阻力系数可以通过查资料得出,若设k等于0.05并仍设t等于4 s,则可求得h—73.6 m.由于考查了空气阻力,这一结果应当比用方法1得到的结果更接近于实际高度.

问题1：方法1既然是不考察空气阻力时得出的公式,那么在式(6)中令k等于0应当还原成自由落体公式.但式(6)中k在分母上,不能直接令k等于0,这一困难如何解决呢?办法不难找到,只要将e-kt用泰勒公式展开并令t→0+,困难就解决了.

问题2：听到回声再按跑表,计算得到的时间中包含了反应时间,反应时间虽然不长,但石块落地时的速度已较大,对计算结果的影响仍然较大.如何解决这一问题呢?如果无法知道某次具体测量时的反应时间究竟有多长,只好用平均反应时间来代替它.例如,不妨设平均反应时间为0.1 s,还可多测几次反应时间,用测得时间的平均值作为测量结果即可,假如仍设t等于4 s,扣除反应时间后应为3.9 s,代入式(6)求得h≈69.9 m.

问题3：其实,石块下落的时间不是3.9 m,因为这3.9 m中还包含了回声传回来所需要的时间.为此,令石块下落的真正时间为t1,声音传回来的时间记为t2,还得解一个方程组

在该方程组中,已假定声音速度为340 m/s,而这一方程组是非线性的,求解不太容易,为了大致估算一下崖高竟然要去解一个非线性方程组似乎不合情理.相对于石块速度而言,声音速度要快得多,可用方法2先求一次h,令t2等于h/340,校正t,求石块下落时间tI—t-t2.将tl代人式(7)再算一次,得出崖高的近似值.例如,若第一次算得h等于69.9 m,则t2≈0.21 s,故t1≈3.69 s,进而可求得h～62.3 m.

综上所述,直觉是数学发明的工具,而逻辑则是证明的工作,直觉只有在经过逻辑上完全严禁的证明才会被人们普遍地接受.逻辑推理能力也是建模必须具备的素质之一,大多数模型就是从所研究的问题应当具备的一些基本属性出发,运用逻辑推理方法或者导出满足这些基本属性的解来,或者证明在原有观念下问题不可能有解,从而从根本上改变了人们对这一问题的看法.因此,敏锐的观察能力与严密的逻辑推理能力才是科学研究必须具备的两项基本素质.

（实习编辑李洋）

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