《在本科物理专业教学中引入随机矩阵理论的必要性与可行性分析》
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摘 要：随机矩阵理论是20世纪发展起来的重要数学理论,目前被广泛应用于物理、生物、通讯、金融等领域.近十年来,随机矩阵理论与物理前沿研究结合更为紧密,是研究开放量子系统、拓扑绝缘体、反德西黑洞等领域的一个有力工具.然而,目前物理学本科生或研究生很少有接触过这一理论.文章将通过介绍随机矩阵理论的基本概念,以此分析将随机矩阵理论引入本科物理教学中的必要性及可行性.
关键词：随机矩阵理论;数学物理;教学
中图分类号：G642文献标志码：A文章编号：2096-000X（2020）07-0072-03
Abstract： Random matrix theory is an important mathematical theory developed in the 20th century. It is widely used in physics, biology, communication, finance and other fields. In the past decade, the combination of random matrix theory and physical frontier research has become a powerful tool for the study of open quantum systems, topological insulators, and anti-de Sitter space. However, physics undergraduates or graduate students are rarely exposed to this theory. This paper will introduce the basic concepts of random matrix theory, and then analyze the necessity and feasibility of introducing random matrix theory into undergraduate physics teaching.
Keywords： random matrix theory; mathematical-physics; education
引言
隨机矩阵理论（Random Metrix Theory）诞生于1928年,在上世纪50年代末首次应用于物理学中,用来模拟重原子核的哈密顿量.近年来,随机矩阵理论在开放量子系统、反德西时空中的黑洞物理,凝聚态物理中的拓扑绝缘体等物理前沿研究领域,以及在无线通讯、生态稳定性及金融数学等其它领域中都有重要的应用.为了纪念及进一步发展随机矩阵理论,2018年国际著名数学物理杂志《Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical》专门开辟了一个专辑,用来发表随机矩阵理论的最新研究进展[1].然而,国内本科或研究生物理专业目前却很少有开设随机矩阵理论这门课程.事实上,初等随机矩阵理论涉及大量矩阵及特殊多项式的内容,是综合运用已学大学数学物理知识的一个非常好的载体.况且随机矩阵理论本身又与大量前沿研究相关,因此,在本科物理教学上应该有所体现.本文将首先简单介绍随机矩阵的发展历史、基本概念及最新研究方向,然后简要分析在数学物理课程教学中引入初等随机矩阵理论的可行性.
一、随机矩阵理论
关于随机矩阵的研究最早可追溯到上世纪二十年代.苏格兰统计学家John Wishart首次提出了后来以其名字命名的Wishart分布.此分布是一种半正定矩阵随机分布,在矩阵分析中有重要作用.
顾名思义,随机矩阵的矩阵元可以是各种类型的随机变量.那么,作为一个数学上引入的抽象概念,随机矩阵理论又是怎样与物理学产生联系的呢?为什么某些物理系统的哈密顿量可以用随机矩阵来描述呢?能够用随机矩阵描述的物理系统对随机矩阵本身又有什么样的限制呢?尽管在二十世纪上半叶,广义相对论和量子力学已经建立,但可严格求解的物理系统是非常有限的,绝大多数都是单体系统.但实际的量子物理系统往往是多体问题.这个多体可能是两体、三体、甚至上百.比如在上世纪50年代,物理学家们开始关注重原子核的能级问题.而重原子核是由大量质子和中子组成的多体系统,这样复杂的系统往往连哈密顿量也很难准确写出来,更不用说理论上去精确计算其能级了.在1956年橡树岭国家实验室举办的一次会议中,物理学家们提出了这样一个问题：对于重原子核,它们的能级间隔分布究竟是怎样的?此时,作为听众的匈牙利-美国理论物理学家及数学家Eugene Wigner教授,起身在黑板上写下了这个公式：
从图1中可以看出,这种分布有别于泊松分布,重原子核的能级之间不会无穷靠近,也不会无穷远分离.能级间的排斥效应和吸引效应达到平衡,最大概率是一个有限大小的数值.
以随机矩阵的一种——高斯正交系综（Gaussian Orthogonal Ensemble,简称GOE）为例,相邻两能级之间的距离为s的概率分布.排斥和吸引达到平衡.
Wigner教授当时并没有做过多解释,因此后来人们就把此能级间隔的概率分布函数称之为“Wigner的猜测”[2].Wigner教授的理论其实是将哈密顿量用随机矩阵来描述.这一想法听起来有点疯狂,但其预言的诸多理论随后都在实验上得到了证实,使得随机矩阵理论与量子物理之间看似没有关联的两个理论联系了在一起.
虽然Wigner给出了重核原子相邻能级间隔概率分布的公式,但当时物理学家们并不清楚随机矩阵与量子系统的哈密顿量的具体联系.然而随机矩阵的种类有很多种,什么样的随机矩阵可以用来描述量子系统的哈密顿量呢?在上世纪60年代,美国物理学家及数学家Freeman Dyson发表了一系列关于随机矩阵理论的论文,为随机矩阵理论在物理系统中的应用奠定了基础.Dyson教授根据物理系统时间反演下的变换性质将随机矩阵分成三种类型：高斯正交系综（Gaussian Orthogonal Ensemble,简称GOE）,高斯酉系综（Gaussian Unitary Ensemble,简称GUE）和高斯辛系综（Gaussian Symplectic Ensemble,简称GSE）[3].这里我们采用一种不是很严格但比较简化的处理方法来说明问题[2],我们希望哈密顿量的本征概率密度不会随着相似变换而改变,即
当H为实矩阵时,U为正交矩阵,而H的矩阵元都是采用高斯分布,故把这种类型叫做高斯正交系综;当H为复厄米矩阵时候,U为酉矩阵,此时H被称为GUE;同理,当H为对偶四元数时候,U为辛矩阵,故称GSE.更严格的数学定义可参考文献[3].
对于一个N×N维的随机矩阵H而言,我们往往对其本征值的概率分布感兴趣（对应于物理系统能量本征值的概率分布）.N个本征值的联合概率密度可以表示为[3]：
其中内核KN（λk,λl）可以表示为
其中?准j（λk）：等于eπj（λk）,π（·）是大家熟知的厄米多项式[4].比如,谱密度分布就可以通过相应的积分得来,
在这里我们以N等于20维的GUE为例.红色（实线）代表谱密度的真实值,蓝色（虚线）代表当N→∞时候的渐进值.这里我们采用了M. L. Mehta书上的习惯,对 （λ）的归一化做了修改,使其归一化为N[3].
当随机矩阵的维度趋于无限大,即N→∞的时候,譜密度可以写成如下形式：
ρ（λ）等于
H的本征值分布落在区间[-,]上.如图2所示,整个概率分布呈半圆状分布,这就是著名的Wigner半圆定理.
类似地,两点关联函数可以由多点关联函数得到
而两点关联函数中的KN（λ1,λ2）在N→∞的时候趋近于
这与著名的黎曼ζ函数的非平凡零点的两点关联函数直接相关.对黎曼ζ函数的非平凡零点与随机矩阵之间的关系感兴趣的读者,可以进一步参考卢昌海教授所著的科普著作《黎曼猜想漫谈》[5].
二、随机矩阵理论在物理前沿中的应用举例
作为随机矩阵理论在前沿研究中的应用,这里简单介绍下作者与其合作者在今年年初关于随机矩阵理论与量子退相干的一个工作.量子退相干是解释量子-经典过渡的重要途经之一,也是量子信息与量子计算实现过程中必须要面对的基本问题.物理学中著名的薛定谔的猫就与量子退相干有重要联系.退相干通常归因于量子系统与周围环境之间的相互作用.然而,它也可能来自系统演化中的随机涨落,比如连续观测和经典噪声.如果对噪声过程进行平均,退相干在整体视角中就会表现出来.因此,通常,退相干随着系统尺寸而增加.这意味着对涉及大量粒子和自由度的复杂量子系统的量子信息处理,退相干是一个不得不面对的挑战.虽然如前所述,退相干随着系统的尺度增加而增加,但极限速率到底是多少呢?作者和合作者发现,由GUE描述的量子涨落混沌系统将展现出极端的退相干性质[6].与常见的k-体相互作用的物理系统相比,这种极端退相干率将随粒子数呈指数方式增长,即
D∝d
其中,d代表系统的希尔伯特空间维度.这是一种全新的退相干方式,此理论结果将有助于理解波函数客观塌缩机制,对黑洞物理学及量子计算的实现也有重要意义.
三、在物理专业教学中引入随机矩阵理论的可行性分析
除了在量子退相干方面的应用,随机矩阵理论还在量子光学、量子色动力学、二维量子引力中有重要应用.除此之外,随机矩阵理论还在数论、无限通讯、神经网络、金融分析中有重要应用.但据作者调研,很少有物理专业学生和教师了解或接触过随机矩阵理论,这不得不说是件很遗憾的事情.
从初等随机矩阵理论基础来讲,比如它只涉及微积分中的积分变量代换;线性代数中的Jacobi行列式;概率统计中的概率分布;特殊函数概论中的常用多项式性质等等.因此,初等随机矩阵理论的介绍完全可以放到本科物理专业的《数学物理方法》或者《统计物理》课程中去.当然,如果要做前沿研究,还必须掌握黎曼几何,这可以在研究生阶段单独开课,或者放到研究生基础课程,比如《高等统计物理》中去.因此,我认为在物理专业教学中引入随机矩阵理论是完全可行以及必要的,也是给年轻的物理学学生将所学知识运用到物理前沿研究的一个非常好的载体.
四、结束语
本科物理专业传统的数学教学大多局限于《高等数学》、《线性代数》、《概率统计》及《数学物理方法》等课程,学生往往学了很多数学知识及技巧,可一旦接触物理前沿研究却又发现所学数学知识完全无法满足需要.这有碍于培养具有创新能力的新时代物理学专业人才.作者认为若将随机矩阵理论引入到本科物理专业的数学教学中去,将是一次有意义的教学探索,将有助于学生了解物理研究的最前沿,极大提高学生今后从事科学研究的能力.
参考文献：
[1]Giulio Biroli, Zdzis?覥awBurda, Pierpaolo Vivo. Random Matrices： the first 90 years[C].Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical, 2018.
[2]G. Livan, M. Novaes, and P. Vivo. Introduction to Random Matrices： Theory and Practice[M].Springer, New York, 2018.
[3]M. L. Mehta. Random Matrices[M].Elsevier, San Diego, 2004.
[4]梁昆淼.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社,2010.
[5]卢昌海.黎曼猜想漫谈[M].北京：清华大学出版社,2016.
[6]Zhenyu Xu, Luis Pedro García-Pintos, AurieliaChenu, and Adolfo del Campo. Extreme Decoherence and Quantum Chaos[J]. Physical Review Letters, 122, 014103 （2019）.
该文点评,上文是一篇关于可行性分析方面的相关大学硕士和教学理论和物理本科毕业论文以及相关教学理论和物理论文开题报告范文和职称论文写作参考文献资料.
教学理论和物理引用文献:
[1] 教学理论和物理论文怎么写 教学理论和物理方面论文怎么撰写2万字
[2] 高中物理和教学理论论文怎么撰写 高中物理和教学理论有关毕业论文模板范文2万字
[3] 高中物理和教学理论研究生毕业论文范文 关于高中物理和教学理论类论文写作资料范文2500字
