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摘 要：由于犹豫模糊语言能更精确地表达决策者意见,引起了很多研究者兴趣,越来越多的研究涉及犹豫模糊语言集结技术以及犹豫模糊语言多属性决策方法.本文首先基于Frank t-范数和t-余模,定义出犹豫模糊语言的Frank运算法则.并在此基础上,提出犹豫模糊语言Frank加权算术平均算子和犹豫模糊语言Frank加权几何平均算子.新算子是HFLWA和HFLWG算子的推广,并含有一个能体现决策者情感的参数,使得决策过程更加灵活.最后提出一种犹豫模糊语言多属性决策方法,绿色供应商选取案例表明方法的可行性和有效性.
关键词：多属性决策;Frank t-范数;Frank t-余模;犹豫模糊语言;集结算子
中图分类号：F274 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2020）05-0051-05
1 引言
科学合理表述决策者对候选方案的评价,在多属性决策问题处理中至关重要.在实际决策中,由于决策对象的模糊性和复杂性,决策者在很多场合难以用定量的方式进行评价.此时选择语言术语来进行描述,更贴近人类的认知过程.最早使用的语言信息建模技术是Zadeh提出的模糊语言方法[2],尽管不能像数值变量那样精确建模,但这种语言建模技术增加了决策模型的灵活性与可靠性,因而得到广泛应用.为丰富和完善语言建模技术,一些学者进一步提出2-tuple模糊语言[3]、不确定模糊语言[4]、直觉模糊语言[5]等建模方法.
但当决策者在几个语言术语间犹豫不决时,上述方法难以准确进行建模.为解决这一情况,Rodriguez et al.将犹豫模糊数和模糊语言相结合,提出一种新的方法——犹豫模糊语言[6],概念一经提出就受到广泛关注.目前,已有一些文献用集结算子来求解犹豫模糊语言信息集结问题.Liu等人将犹豫模糊语言转化为模糊区间数并结合OWA算子求解多属性决策问题[7];Wei等人将犹豫模糊语言转化为不确定语言,在此基础上给出其排序方法和有序加权平均算子求解多属性决策问题[8];Zhang等人在保留犹豫模糊语言结构的前提下,提出犹豫模糊语言加权算术平均算子和几何平均算子,用来求解多属性决策问题[9];Xu等人将幂平均算子引入到犹豫模糊语言环境中,并给出犹豫模糊语言有序幂平均算子求解多属性群决策问题[10].
上述犹豫模糊语言集结算子都是建立在代数和及代数积的基础上,而这2种运算是t-范数和t-余模的特例.Frank算子簇是目前仅有的满足相容定律的算子簇,并具有Einstein以及Hamacher t-范数和t-余模的特性[11].更重要的是,Frank t-范数和t-余模含有一个调节参数,因而比其他范数和余模更具灵活性.Yager将Frank t-范数和t-余模应用于近似推理[12];Wang和He在Frank t-范数和t-余模基础上定义了一系列的概率逻辑算子[11];Qin等人给出了Type-2型区间三角模糊数的Frank集结算子,并应用于多属性群决策问题求解[13];Zhang等人定义了直觉模糊集的Frank运算法则,进而提出直觉模糊Frank非线性加权平均算子[14].但至今还未有文献讨论犹豫模糊语言环境下的Frank运算法则以及相应的信息集结算子.本文将Frank运算引入到犹豫模糊语言环境下,并提出相关的集结算子,讨论其相关性质以及与现有算子的关系.此外本文还提出一种基于Frank犹豫模糊语言集结算子的多属性决策方法,并运用于绿色供应商推荐系统中,对手机电池供货商进行排序.
2 预备知识
模糊语言决策是一种用语言变量来近似代替定量描述的方法.设S等于{s?琢|?琢等于0,1,等,t}是一个有限的有序语言评估标度集,其中s?琢表示可能的语言术语.通常要求S满足下列条件：
但上述评估标度集S是由离散的语言变量组成,不利于计算和决策分析,同时在决策过程中容易引起初始信息流失,因此徐[15]将上述离散的语言标度集推广至连续的语言标度集S等于{s?琢|?琢∈[0,p]},其中p（p>t）为足够大的正整数.若s?琢∈S则称之为原术语,否则称s?琢为拓展术语.原术语用来评估决策对象,拓展术语只出现在信息的集結过程中.设s?琢,s?茁,∈S,?姿,?姿1,?姿2∈[0,1],连续语言标度集的运算法则定义如下[18]：
当决策中出现决策者对元素的隶属度在几个数值间犹豫不决时,Torra提出犹豫模糊集来处理这种情况.而类似情况可能会出现在定性描述中,即决策者在几个语言术语间犹豫不决.为此,Rodriguez et al.定义了犹豫模糊语言术语集.
定义1[6] S等于{s?琢|?琢等于0,1,等,t}是一个有限的有序语言评估标度集.称Hs等于{<xi,hs（xi）>|xi∈X,i等于1,等,n}为论域X上的犹豫模糊语言术语集（Hesitant Fuzzy Linguistic Term Set,HFLTS）,hs（xi）表示语言评估标度S的某个子集,记为HFLE（Hesitant Fuzzy Linguistic Element,HFLE）,hs（xi）等于{s?浊l（xi）|s?浊l（xi）∈S,l等于1,2,等,L},其中L表示hs（xi）的元素个数.
例1 质量管理是以质量为核心的策划、协调和控制的一系列复杂活动,其中许多因素很难定量刻画,定性描述是人们常用的一种表述方式.某决策者为评价2台自动化操作系统x1与x2的复杂性,建立了语言评估标度S等于{s0：非常复杂,s1：复杂,s2：稍复杂,s3：正常,s4：稍简单,s5：简单,s6：非常简单}.决策者最后得出的评价Hs等于{<x1,{s0,s1,s2}>,<x2,{s1,s2}}是HFLTS,其中hs（x1）等于{s0,s1,s2}与hs（x2）等于{s1,s2}是两个HFLEs.为使hs（x1）和hs（x2）具有相同的元素,可将hs（x2）拓展为hs（x2）等于{s0,s1,s2}.
3 犹豫模糊语言Frank加权平均算子
定义2 设S等于{s0,s1,等,st}为语言评估标度,h1,h2,等,hn为定义在S上的HFLEs且权重向量为{w1,w2,等,wn}T,wi∈[0,1],wi等于1.有映射HFLFWA：hn→h,若
HFLFWA（h1,h2,等,hn）等于w1·Fh1?茌Fw2·Fh2?茌F等
?茌Fwn·Fhn
则称HFLFWA为n维犹豫模糊语言的Frank加权算术平均算子.特别的,若wi等于1/n,i等于1,等,n,则有
称为n维犹豫模糊语言的Frank算术平均算子.
定义3 设S等于{s0,s1,等,si}为语言评估标度,h1,h2,等,hn为定义在S上的HFLEs且权重向量为{w1,w2,等,wn},wi∈[0,1],wi等于1.有映射HFLFWG：hn→h,若
则称HFLFWA为n维犹豫模糊语言的Frank加权几何平均算子.特别的,若wi等于1/n,i等于1,等,n,则有
称之为n维犹豫模糊语言的Frank几何平均算子.
4 犹豫模糊语言多属性决策方法
设X等于{x0,x1,等,xn}为离散的方案集,相应的属性集为G等于{g0,g1,等,gl},属性权重向量为w等于{w1,w2,等,wl}T,wi∈[0,1],wi等于1.决策者对备选方案给出犹豫模糊语言评价,得到犹豫模糊语言决策矩阵H等于（hij）n×l.
针对上述多属性决策问题,利用前文所定义的Frank集结算子,给出如下的求解步骤.
步骤1 给出犹豫模糊语言决策矩阵H等于（hij）n×l的规范化矩阵H等于（hij）n×l,其中
hij等于hij gj为效益型属性N（hij） gj为成本性属性
步骤2 利用犹豫模糊语言Frank集结算子对候选方案的属性值hij,j等于1,2,“,l进行集结,得到候选方案xi的综合评价值：
hi等于HFLFWA（hi1,hi2,等,hij）,i等于1,2,等,n
步骤3 假定hi等于{s?浊l|s?浊l∈S,l等于1,2,等,L},计算候选方案的得分值?滋（hi）等于?浊i和方差值v（hi）等于
步骤4 利用下述规则对方案xi的综合评价值hi（i等于1,2,等,n）进行排序.
（i）若v（h1）等于v（h2）,则h1等于h2;
（ii）若v（h1）>v（h2）,则h1<h2;
（iii）若v（h1）<v（h2）,则h1>h2.
步骤5 依据hi的大小顺序对决策方案进行排序并选择最优方案,hi越大表示决策方案越好.
5 实例分析
例2[17] 随着科技的飞速发展以及民众生活水平的提高,智能电子数码产品走进了人们的生活,并给人们带来了极大的便利,其中手机更是成为生活和工作必不可少的工具.2015年统计数据显示,我国移动电话总户已经超过13亿,伴随着手机更新换代的频率加快,废旧手机电池对环境造成了极大的危害.因此,为手机制造商寻求绿色电池供应商尤为重要.某品牌手机公司有五个可供选择的电池货源,为选择出最佳绿色供應商,该公司结合自身情况制定了五个评价指标：产品质量（g1）、使用环境友好型的材料与生产技术（g2）、创新能力（g3）、产品（g4）,其权重向量为w等于（0.4,0.2,0.2,0.2）T.决策专家建立了语言评估标度集：S等于{s0：极差,s1：差,s2：有点差,s3：正常,s4：有点好,s5：好,s6：极好},在此基础上,给出如下的犹豫模糊语言评价.
下面用本文的决策方法,为手机生产厂家提供供应商的排序.
步骤1 本题涉及的4个属性都是效益型的指标,因此不需要进行规范化.
步骤2 利用犹豫模糊语言Frank集结算子对候选方案的综合属性值进行集结,结果如表2和3所示.
步骤3 利用方案x1的综合属性值对决策方案进行排序（如表4所示）,并选择最优方案.
由此可见,无论?姿如何变化,两种算子所得排序结果始终保持不变,均认为x3是最佳手机供应商.从表2、表3可见,随着?姿的增大,HFLFWA算子给出的信息集结值逐渐减小,而HFLFWG算子给出的信息集结值逐渐增大.事实上,我们可以证明HFLFWA算子是关于?姿的单增函数,HFLFWG算子是关于?姿的单减函数.故在决策过程中,可以将?姿看成决策者的情感指数.在悲观的情绪下,HFLFWA算子选择较大的?姿,而HFLFWG算子选择选择较小的?姿;在乐观的情绪下,HFLFWA算子选择较小的?姿,而HFLFWG算子选择选择较大的?姿.
6 比较分析
自2012年犹豫模糊语言这一概念提出至今,已引起众多研究者的兴趣,并提出一些犹豫模糊语言多属性决策方法.现有的方法大致可划分为三类：第一类是利用经典的排序算法进行排序,例如王坚强等人利用ELECTRE排序方法给出决策方案,廖虎昌等人利用VIKOR
排序方法给出决策方案;第二类以引言部分所描述的文献[7]和[8]为代表,在决策过程中将犹豫模糊语言转化成区间值的形式进行信息集结;第三类和本文的方法相同,在信息集结过程中保留犹豫模糊语言的结构,兼顾每一个语言元素.这里我们在三种方法中各选取一种较为典型的方法与本文给出的方法进行对比.
通过表4可知4种方法主要区别在决策途径和运算法则.文献[18]使用ELECTRE排序方法,这种方法虽然能极大保留原有决策信息,但不便于计算,尤其是属性较多时更为突出;正如文献[18]所指出文献[8]在利用算子集结的过程中,将犹豫模糊语言转化为区间值,这种方式容易丢失决策信息,使得决策结果可信度降低;文献[9]和本文的方法克服了文献[8]的缺点,但文献[9]采用的算子是普通代数运算,是Frank运算法则的特例,本文的决策方法更具有普遍性.同时Frank算子中含有的参数?姿,可体现决策者的情感因素,从而使决策过程更加灵活,在实际应用中更为方便.
任何一種方法都不可能在一切情形下占有优势,方法都有优缺点.例如文献[8]的方法尽管易导致信息丢失,但计算简洁、效率高.我们所要做的是针对不同的决策环境和决策问题,选择合理的决策方法.
7 结论
在多属性决策过程中,由于事物的复杂性和不确定性,越来越多的人使用犹豫模糊语言来建模.尽管已有一些犹豫模糊语言的集结算子,但它们大都是建立在普通的代数运算上,在集结的过程中缺乏灵活性.本文在Frank t-范数和t-余模的基础上,给出了犹豫模糊语言Frank加权算术平均算子和犹豫模糊语言的Frank加权几何平均算子,并探讨了算子的相关性质,给出了一种求解犹豫模糊语言多属性问题的方法,实验证明新方法的有效性与可行性.下一步的工作是探讨算子在区间犹豫模糊语言信息集结以及多属性群决策问题求解中的应用.
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