《分数傅里叶变换在光学图像中的运用》
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[摘 要]积分变换不仅在数理领域有重要的作用,当人们将积分变换引入光学领域后,积分变换在信息传输,频谱分析,图像处理等方面运用十分广泛.本篇论文着重介绍和分析了傅里叶变换以及分数傅里叶变换在光学图像处理方面的应用.
[关键字]变换,傅里叶变换,分数傅里叶变换,图像处理.
中图分类号：0469 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）07-0117-02
1.背景介绍
在19世纪,由于运算上的困难导致了积分变换的产生,在英国,海维赛德这位著名的工程师把积分变换运用在求解物理学等领域中的线性微分方程时,慢慢的形成了一种符号规则,此后一段时间,这种规则就逐渐演变为现在的积分变化法.所有可以连续变化的信号,总可以用频率不同的正弦和余弦函数的叠加来表示.这一点可以由傅里叶变换的原理清楚地得知.傅里叶变换处理信号的方法之一,在许多学科中,信号处理等许多领域都有着很多的应用[1].傅里叶分析法在19世纪20年代初期便已经成功的运用到了光学领域,进而成为现代光学一个重要分支---傅里叶光学,该理论对于光学信息的处理来说也十分重要.例如,在处理光学图像时就经常用到傅里叶变换.其原因是因为傅立叶分析包括了图像处理的许多方面,把傅里叶变换的原理和相应的物理解释结合起来,对存在于图像处理当中的很多问题提示了许多不同的思路,傅里叶变换提示我们应从事物的不同方面来考察问题,同时也让我们在分析某问题时有意识的从空域和频域这两个不同的角度来考察问题并且学会它们之间的相互转变,从而使得图像处理的过程变得简单、有效,对于在图像处理中需要迂回解决的难题十分有帮助,傅里叶变换也因此被广泛的应用在图像处理当中.但是随着人们运用领域的不断扩大,其局限性就慢慢显现出来了,正是这些不足迫使人们积极的去寻找一些改进的方法.分数傅里叶变换可以认为是广义上的傅里叶变换.当我们把数学中的分数傅里叶变换引入到光学领域时就慢慢衍生出现代光学的一个新的分支---分数傅里叶光学.作为傅里叶光学的补充和扩展,对于光的行为我们可以用一种不同的思路去考虑,当我们处理这些问题时有了不一样的观点和思维方式.分数阶这一特殊的参量是分数傅里叶变换较傅里叶变换不同之处,所以它就有一些新的功能.例如,在某一个整体需要进行信号检测时,对于傅里叶变换来说需要采用许多不同的方法才可以使整体的图像处理效果更为清晰[2,3].相比较而言,分数傅里叶变换可以对整体的变化动态进行较为详细的描述.与此同时,对于其整体的变化方式,也能够进行分数阶的变化分析.这样的话,存在于许多不同信号层面的数据变化,分数傅里叶变换对其进行分数的变化分析是较为全面的,所以提升了整体的检测效率.在对整体进行检测时,首先应明确需要处理的傅里叶信息.然后处理好不同的图像,再把图像处理和信号检测结合在一起,这样才能使检测效果最为明显.所以,在最近这些年来分数傅里叶变换成为了光学信息处理领域的研究热门[4].
2.分数傅里叶积分变换
傅里叶变换属于线性变换的一种,把信号在时域以及频域这两个不同的空间进行转换时,经常会用到此变换.傅里叶变换是由约瑟夫.傅里叶提出来的,为了纪念他,所以以他的名字来命名这一积分变换.傅里叶变换的具体表达式并不是一成不变的,当在不同的领域运用此变换时,会有不同的表现形式.
若信号函数 在（ , ）上满足以下条件, 在任意一个有限区域上满足连续或只有有限个间断点,只有有限个极值点[1].且 在无穷区域（ , ）上绝对可积,则 在连续点t处的傅里叶变换定义如下
（1）
对应的,其逆变换为
（2）
那么当 中的 不等于整数,而是分数时该如何呢,从而就发展出了分数傅里叶变换函数[2].
（3）
其中 是 的分数傅里叶谱, 称为分数傅里叶变换的阶,其值应满足 ,当上式中的 用 代替时,可得到
（4）
其中 是 的逆变换.
分数傅里叶变换是以傅里叶变换为基础而发展过来的.目前,分数傅里叶变换被运用到了很多领域 .在1980年时,Namias就提出了较为完整的定义以及性质.到了1987年,McBride等一些人又在数学方面做了适当的补充,而后分数傅里叶变换就形成了一个较为完整的理论.在1993年,分数傅里叶变换被运用到光学领域,并通过渐变折射率介质光学理论定义了它的光学定义.分数傅里叶变换有如下性质.
（1）位移性质
（5）
（2）可加性质
阶和 阶,变换时的依次作用,产生的结果相当于 阶的一次变换的效果[3].
即
（6）
在上式中 与 是对称的,因此可以得出 .由此可见分数傅里叶变换算符是可对易的；当 时 .
（3）周期性质
因为分数傅里叶变换的定义中出现了周期性的函数 和 ,所以該积分变换关于 有周期性,且周期为2π,那么
（7）
（8）
（9）
那么,当 , 时,变换 都能够化为主值区间内的变换.设
那么, 阶分数傅里叶变换还可以表示为 ,q的变换范围是 .
对于振动信号以及其他物理信号进行分析时,傅里叶变换是一种很常用的分析方法.傅里叶变换属于频域分析法的一种,对于信号的一些频率特征可以很好的被其反映出来,但对于时域信息的获取却得不到.这就是时域和频域所存在的一种局部化矛盾.在傅里叶变换当中,人们只能单独得到时域或者频域的信息.傅里叶变换很适合分析那些确定的平稳信号,相对于非线性、非平稳的信号而言,傅里叶变换存在着明显的不足；但是对于非线性、非平稳信号的分析也很重要.在实际的运用过程中,傅里叶变换的不足之处主要有以下两点：一是傅里叶变换不具备时间以及频率的定位功能,另一种则是傅里叶变换处理非平稳信号的效果不是很好.
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