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人类智慧攀升和有效的认知活动是经验和理性的螺旋循环.学习数学也不例外,然而数学教学活动中经验归纳与理性思维既互相支持又矛盾对立,况且初中学生正处于经验型思维向逻辑型思维过渡的阶段,以致在具体教学中较难正确把握两者的权重量纲,容易产生偏颇做法.因而充分认识经验归纳与理性思维的关系,是完全必要的.也只有把握了它们之间的辩证统一关系,才能避免和纠正片面追求的行为.
一、经验归纳教学的价值
在初中数学教学中,引导学生对生活实际或动手操作进行有意义有目的的分析、探索,进而提炼数学中的一般性规律,即用经验归纳的方法寻求数学的事实性结论.主要有下述教育意义：
1.学生体验了经验世界中数学知识的形成过程,根据建构主义的认知观点,是学生对知识进行意义建构的有效途径.不过这样建构的知识,仅具实证性,还不深刻,是浅层次的.
2.使学生得到归纳方法的学习.归纳方法被誉为发现的“逻辑”,广泛地应用于自然科学研究,科学史上许多重大的发现和发明主要依赖于归纳方法.例如,开普勒在研究太阳系行星运动时,对十年观察和计算的数据进行归纳,得到天体运动第三定律.孟德尔归纳八年的实验数据,完成了《植物杂交试验》的伟大论著,为遗传学作了科学奠基.在数学研究中,也常借助归纳作出猜想和判断,著名的哥德巴赫猜想就是通过归纳得到的,又如对数由类比归纳得到.学习归纳方法也就是学习了科学研究的基本方法,对提高学生发现和创造能力具有十分积极的意义.
3.通过对数学知识形成的“情境”性体验,使得对抽象的数学概念有朴素的理解,为进一步进行数学抽象思维提供依托和支持.在数学学习的问题解决中,经常对某问题的具体个别情形进行考察、归纳,寻求解决问题的策略和一般方法.
4.增强数学知识与现实生活的联系,由此增进数学价值的认识,增进数学应用的意识和能力,提高用数学的眼光观察世界的能力.
5.经验归纳将数学与生活融洽,有利于增进学生学习数学的兴趣.兴趣是促进自觉能动的动力,特别是通过归纳得到发现和创造时,使人的心灵深处倍感快慰,将产生浓厚的兴趣,有可能达到虽为其“劳苦”而感到乐的境界——乐此不疲.
正基于上述理由,当前初中数学教学中凸显经验归纳教学,其意义是不言而喻的.但是,也应该清楚地认识到归纳有很大的局限性,不仅数学知识不可能全由归纳得到,而且就其本身而言,缺乏深刻,以及得到的结论不一定正确.
二、归纳的正确应用需要逻辑支持
在数学王国里,虽然数学的某些结论可由直觉和归纳得到,但要确定结论的正确与否,归纳几乎无用武之地.归纳证明有效的命题极其少量,并且还需要逻辑支持.（可用归纳方法证明的主要是代数恒等式,但借助了代数基本定理的逻辑支持.至于用机器证明几何命题,那是对证代数恒等式的一种应用）.通常把直觉和归纳得到的命题不视为真,原因是直觉和归纳往往会出错.例如：
1.判断全体正自然数的个数多呢还是全体正偶数的个数多?从直观意义上考虑,把全体正自然数从小到大依次排列,任意取出相邻的两个,自然数有2个,偶数只有1个,于是得到正自然数的个数是正偶数个数的2倍；从归纳的意义上看,在100以内进行考察,自然数99个,正偶数49个,个数的比值：99/49≈2.在1000以内考察,两者个数的比值：999/499≈2.在10000以内,在100000以内考察等,可得两者个数比值的极限是2,与直观同样的结论.凡涉足过超穷数理论的人都知道上述结论是错误的.事实上,只要构造函数M等于2n,显然值域与定义域有一一对应的关系,便知归纳所得结论错误.
2.“北师大教材八上1.1《勾股定理》中：根据下面图形的各条边的关系,请你探索出直角三角形的三边的关系,结果大部分学生根据32等于4+5、52等于12+13,继而得出错误的结论：a2等于b+c,即较长直角边与斜边的和等于较短直角边的平方.”
并且更多的事实犹如观测水中的一根直棍,获得的感知是弯曲的一样.为此,大天文学家开普勒指出：“当知识通过感官被直接提供给心灵时,是模糊、混乱和矛盾的,从而也就不可靠的.”所以对经验得到的东西总要问个为什么?总要有理性的思考.哲学家叔本华说：“经验从总体来讲,是要从这种形而上学得到解释的.”东汉哲学家王充说：“是非者,不徒耳目,必开心意”.确定事物的本质不能仅凭感觉,一定要有理性思考.特别地经验得到的数学命题必须有理论的证明.
数学归纳法:四、数列、数学归纳法(1)
实际上,人类在处理数学上理由不充足的结论时,总是小心谨慎的.像哥德巴赫猜想,尽管千万次验证都是正确的,但由于没有得到理论上的证明,人们还是叫它猜想而不叫定理.有时即使得到事实性的结论,如果理论有缺陷,也会用怀疑的眼光去看待它.如微积分在创立之初,由于理论不完善,人们纷纷质疑无穷小量的处理不合理,就连当时思想界的巨头红衣主教贝克莱、马克思主义学说的创立者之一马克思都参与质疑.（微积分从初创到理论完善经历了一百年）.无数事例充分地反映了人类对数学严谨性所持态度是严肃、认真的.
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数学归纳法引用文献:
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