《一道习题的拓广和应用》
本文是一道习题的拓广和有关论文范文资料跟一道和习题相关硕士学位毕业论文范文.
解答数学问题时,要善于发现问题本身所隐含的规律或特征,或者经过变式研究后,得到新的规律或特征,然后运用这些规律或特征,帮助我们快速解决相关的问题,本文从一道课本习题出发.通过反思、拓广、应用,让同学们感受.数学探究的美妙过程.
例1（人教版数学教科书七年级下册第23页第7题第（2）小题）如图1,如果AB//CD//EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF等于（ ）.
A.180°
B.270°
C.360°
D.540°
解析：因为AB//CD,所∠BAC+∠ACD等于180°,同理可得∠DCE+∠ CEF等于180°.
所以∠BAC+ ∠ACE+∠CEF等于（ ∠BA C+∠ACD）+（∠DCE+∠CEF） 等于180° +180°等于360°,故选C.
【反思1】去掉图1中的射线CD,如图2,我们思考：若AB//EF,则∠BAC+ ∠ACE+∠ CEF等于360°还会成立吗?
图2中没有与两平行线相关的三线八角模型,结合例1中问题情境,考虑在图2中通过作辅助线构造基本图形解决问题.
如图3,过点C作CD//AB,则∠BAC+∠ACD等于180°.
因为AB//EF,所以CD//EF,所以∠DCE+∠ CEF等于180°.
所以 ∠BAC+ ∠ACE+ ∠CEF等于（ ∠BAC+∠ACD ）+（ ∠DCE+ ∠CEF）等于180°+180°等于360°.
于是得到下面结论：
拓广1：如图2,若AB//EF,则∠BAC+∠ACE+∠CEF等于360°.
这是一个非常有用的基本模型,它可以帮助我们快速而准确地解决与此相关的选择题或填空题,
例2一大门栏杆的平面示意图如图4所示,BA垂直地面AE于点A.CD平行于地面AE.若∠BCD等于150°,则∠ABC等于____ .
分析：根据上述模型及结论知：∠C+∠ABC+∠BAE等于360°.从而150°+∠ABC+90°等于360°.故∠ABC等于120°.
【反思2】再观察图2,在直线AB与直线EF之间移动点C时,如下页图5,上述结论还会成立吗?
过点C向左作CD//AB,如下页图6,同上可得CD//EF,可证得∠BAC等于∠DCA,∠CEF等于 ∠DCE,故∠ACE等于∠DCA+∠DCE等于∠BAC+∠CEF.
于是又得到下面结论：
拓广2：如图5,若AB//EF,则∠ACE等于∠BAC+∠CEF.
这又是一个非常有用的“M”模型,
例3 如图7,将一副三角尺和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两块三角尺的一直角边在同一直线上,含300角的三角尺的斜边与纸条一边在同一直线上,含45°角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上.则∠1的度数是____ .
解析：图7中,AB//CD,“B-A -E-C-D”正好构成一个“M”模型,根据拓广2,得∠AEC等于∠1+∠ECD.
故∠1等于∠AEC-∠ECD等于45°-30°等于15°.
例4 （2019年东营,改编）将一副三角尺（∠A 等于30°,∠E等于45°）按如图8所示的方式摆放,使得BA //EF、则∠BCE-∠AHF等于（ ）.
A.15°
B.30°
C.45°
D.50°
解析：由∠E等于45°得∠F等于45°,再由∠A等于30°得∠B等于60°.
因为AB//EF,所以图8中,“A-B-G-E-F'和“B-A -H-F-E”都分别构成“M”模型,根据拓广2,得∠BGE等于 ∠B+ ∠E,∠AHF等于∠A+∠F,所以∠BGE- ∠AHF等于（∠B+∠E）一（ ∠A+∠ F）等于（60°+45°）-（30°+45°）等于30°.故应选B.
【反思3】再观察图2,当点C在直线AB上方或直线EF下方时,结论又会是怎样的呢?
（1）当点C在直线AB上方时,会出现两种情况,如图9、图10.
过点C向左作CD //AB,因为AB∥EF,所以CD//EF.
在图9中,∠BAC等于 ∠DCA,∠CEF等于∠DCE,故∠A CE等于 ∠DCA - ∠DCE等于 ∠BA C-∠CEF.在图10中,∠CEF等于 ∠DCE,∠BA C等于∠DCA.故∠A CE等于∠DCE-∠DCA等于∠CEF-∠BAC.
（2）當点C在直线EF下方时,仍然会出现两种情况,如图11、图12.
同上分析,得到图11中有∠ACE等于∠ CEF-∠BAC成立,图12中有∠A CE等于∠BA C-∠CEF成立.
上述四个模型及结论可合并归纳为：
拓广3：已知直线l1//l2,A,B依次是L1.上两点,E,F依次是l2上两点,点C不在L1,l2上,也不在l1.与l2之间,则∠ACE,∠BAC和∠CEF三个角中,最大的角总等于另外两个角的和.
运用拓广3同样可以帮助我们快速而准确地解决与此相关的选择题或填空题,
例5如图13,直线a//b,含30°角的三角尺如图放置,∠DCB等于90°.若∠1+∠B等于70°,则∠2等于____.
解析：直接利用上述模型有∠3等于∠1+∠B等于70°,故∠2等于90°-∠3等于20°.
要说明的是,上述四个模型中,平行线与平行线上的点有特定的位置关系,如果问题中的图形结构不满足这里的“特定的位置关系”,就不要盲目套用模型解题.
例6如图14,若AB//CD,则∠B,∠C,∠CEB之间的数量关系为____ ,
解析：仔细观察,此题图形与上述模型有区别,若直接利用上述结论,则会出错.我们用最基本的方法解答,
如图,过点E作EF//AB,则∠B等于∠BEF,∠C+∠CEF等于180°.
所以∠C+∠BEF+∠CEB等于180°,故∠C+∠B+∠CEB等于180°.
练一练
1.（2019年凉山）如图15,若BD//EF,AE与BD交于点C,∠B等于30°,∠A 等于75°,则∠E的度数为（ ）.
A.135°
B.125°
C.115°
D.105°
2.（2019年齐齐哈尔）如图16,直线a//b,将一块含30°角（∠BAC等于30°）的三角尺按图中方式放置,其中A和C两点分别落在直线a和b上,若∠1等于20°,则∠2的度数为（ ）.
A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
3.（2019年宁波）已知直线m∥n.将一块含45°角的三角尺ABC按如图17所示的方式放置,其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1等于25°.则∠2的度数为（ ）.
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
4.如图18,若AB∥ CD,则∠B,∠C,∠E三者之间的数量关系为（ ）.
A.∠B+ ∠C+ ∠E等于180°
B.∠B+∠C-∠E等于180°
C.∠B等于∠E+∠C
D.∠B一∠C等于2∠E
5.如图19,若AB//CD,则∠A,∠AEF,∠EFC,∠FCD之间的数量关系为（ ）.
A.∠A+∠EFC+∠FCD等于 ∠A EF+180°
B.∠A+∠EFC等于 ∠A EF+∠FCD
C.∠A+∠FCD等于 ∠AEF+∠EFC
D. ∠A +∠AEF等于∠EFC+∠FCD
参：1.D 2.C 3.C 4.B 5.A
上文结束语，此文为适合不知如何写一道和习题方面的一道习题的拓广和专业大学硕士和本科毕业论文以及关于一道习题的拓广和论文开题报告范文和相关职称论文写作参考文献资料.
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