《一道中考题的答题分析和教学建议》
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摘 要：本文以2019年安徽省舍肥市中考数學试卷第22题为例,首先进行试题背景分析与简要赏析,然后对其答题情况进行分析,感悟数学课堂教学中存在的诸多问题,并提出三点教学建议：一是注重数学语言的形式化转换;二是注重逻辑推理能力的培养;三是注重数学思想方法的浸润.
关键词：教学建议;数学语言;逻辑推理;数学思想
1试题背景及呈现
1.1试题背景
近几年,安徽省的中考数学试题在不断创新中展现出其独有的魅力和显著的特色,独树一帜,“似曾相识燕归来,小园香径独徘徊”——今年的安徽省数学试卷在继续保持原有风格的基础上做出了一些调整与创新,概括为以下三点：一是增加了对于高一级数学学习需要的知识、技能和方法的考查;二是注重数学核心素养的考查,使教师和学生意识到依靠刷题和重复训练得高分是不可能的;三是基于数学教学承载着对于学生思维和创新能力培养的重任,因而有适度增加数学试卷难度的趋势,笔者认为,今年的数学试题难度与近几年相比无疑是较大的,其中第14题和第22题涉及函数问题的压轴题,考查了学生的抽象思维能力,整体的答题情况不容乐观,引起教师对于数学课堂教学中如何更加有效地培养学生的抽象思维能力的重视,基于此,笔者根据合肥市中考数学的阅卷情况,以第22题为例进行简要分析：
1.2原题呈现
题目（安徽省2019年中考数学第22题）一次函数y等于kx+4与二次函数y等于ax2+c的图象的一个交点坐标为（1.2）,另一个交点是该二次函数图象的顶点,
（1）求k,a,c的值;
（2）过点A（O,m）（O2+c的图象交于B,c两点,点O为坐标原点,记W等于OA2+BC2,求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.
1.3简要赏析
本题一改往年二次函数压轴题风格,不再考查学生常见的利润最大值、面积最大值等问题,而是让学生走出“题海”,关注数学素养、突出学科特点,注重数学思维品质的培养以及对数学本质的理解,着重考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力和理性思辨能力,能够有效检测出学生思维的条理性和严谨性以及计算、阅读理解、数学语言的表达等技能,从考查内容上来看,本题作为函数压轴题,着重考查了学生对于一次函数与二次函数基本概念的理解、函数图象的性质、函数与方程的关系;同时还考查了一些与函数相关的知识点,如一元二次方程的解法、二次根式的运算、分母有理化、根与系数的关系、二次函数的配方等知识,可以说本题全方位地考查了学生的“四基”.
2答题情况及分析
2.1答题情况
从合肥市中考数学阅卷数据的统计情况来看,第22题平均得分为6.65分,难度系数0.55.与总体难度系数0.72相比,得分率偏低,因而属于压轴型较难题,下面逐一分析此问题的多种解法以及阅卷过程中出现的典型错误,以期为后续的教学找到问题的源头.
2.2答题分析
第（1）问的解法相对单一,绝大多数学生对于k值求解不存在问题,但却无法求解n,c的值,错因主要表现为对函数y等于ax2+c图象性质不熟悉,未能意识到该函数图象的顶点坐标为（O,c）,代人一次函数即可求得c的值,从而陷入困境,所以教师对于二次函数的教学应该注重函数的本质,使学生对于一些基本函数图象和特殊性质以及它们之间内在的联系有更加形象透彻的理解（如y等于AX2,y等于AX2+c,y等于ax2+bx,y等于n（x+k）2）,同时强调函数图象之间的关系和性质的生成过程;另外,在平时的教学中还要注意培养学生的阅读能力和良好的审题习惯,以避免一些学生由于漏看题干条件（如交点为二次函数顶点）而错失本题的关键信息,
第（2）问的解法可以分为三步：第一步求出OA等于m（或OA2等于m2）的值;第二步用含m的代数式表示BC（或BC2）是本题的关键和难点;第三步对W进行配方求解最值.
大多数学生都能直接求出第一步的答案,但学生的错误率在第二步明显比较高,这个过程着重考查学生的逻辑推理能力、计算能力,学生的做法主要有以下三种：
其中,解法1主要是在含参数方程解法中出现问题,分母有理化错误导致两个解无法解出,只有少数学生能够完整求出;而一部分学生未采取分母有理化,后期通过平方运算直接得到结果;还有一部分学生对分母有理化理解不清楚,更是不熟练平方运算、根式运算,直接造成出错,解法2和解法3对学生的思维要求较高,采取这种方法的同学基本属于思维能力较好,计算能力过关的学生,能独立处理本题.
在第三步中,二次函数求最大值属于常见题型,但仍有学生写出了W关于m的解析式,在利用配方法求解过程中出错,说明其基本计算能力不过关,当然一部分学生通过公式法求得最值也体现了在求解二次函数最值问题中方法的多样性.
从学生对于综合性较强、对综合能力要求较高的第（2）问的答题情况来看,错误点来源于基础知识,如不会解一元二次方程、未进行分母有理化、二次根式运算出现问题、配方不完整等等,所以,基础知识、基本能力的培养一直是初中阶段数学教学中不可忽略的任务;同时在初三的复习中也要关注细节、关注基本知识点、关注知识的来源与生成,不可高估学生的能力;在新课的教学中更要一步一个脚印,不可人为拔高知识难度.
3教学建议
3.1注重数学语言的形式化转换
3.1.1强调对数学语言的准确理解
初中阶段的数学语言主要以形象、通俗易懂的呈现方式进行表达,学生在理解题意方面基本上没有太大的障碍,而受应试的影响,教师在平时的数学教学中容易忽视对概念的逐字逐句的理解与拓展,缺乏与高一级学段数学语言的衔接,更没有进行任何有针对性的训练,导致学生面对较为抽象的数学语言、逻辑运算、函数及图象语言时,无法理解题目中的信息,读不出题目中所隐含的解题要领和条件,比如题目中常有“若a为实数”这样的条件,学生大都对其忽略,认为其对解题没有多大的帮助,其实它的存在能启发学生采用一种快速且简洁的方法——特殊值法.
对于这样的选择题型,读懂题中“点E在线段AD上”这个条件至关重要,因为直接将点E放在点D上即可迎刃而解,所以,初中数学课堂还是需要重视阅读、理解、转换、初高中的适当衔接,这样才能真正提升学生的综合解题水平.
3.1.2强化数学语言的准确转换
和学习各门功课一样,掌握数学的文字语言、符号语言以及图形语言是必备基础,它们之间既可相互转换、又可独成一体,平时的教学中受初中数学表达的局限以及不同学段的要求,教师虽然也很重视数学语言的相互转换,但对内涵的挖掘不深、广度不大、拓展不宽均可直接导致学生无法直击核心问题,找不到解决问题的关键方法.
3.2注重逻辑推理能力的培养
3.2.1数学课堂更需要“理性思辨”
从安徽省中考第22题的典型答题错误的案例分析中,不难发现主要存在两方面问题：一是数学课堂“理性”的成分不足,造成学生基本功不扎实,蜻蜓点水,一知半解,混个半坛水就够了,不求深,不求实,主要表现为计算能力严重不足、逻辑推理混乱、书写不规范等,因此,教师在教学中要狠抓基础,基本运算,推理要熟练,有速度;数学常数、数学公式要精准记忆,有较丰富的数学积累;解题呈现要求规范、认真、布局合理,二是数学课堂的“思辨”氛围不浓,造成学生思维惰性和定势,盲目崇尚解题模型,此原因与课堂中的一些不良习惯和教学组织方式有关,教师为了营造课堂氛围,往往会组织一些小组讨论、交流,从而大量使用电化设备辅助教学,代替了学生的独立思考、动手操作以及深层次的批判性思辨能力的训练,造成学生思维的灵活性不强、独立解题能力严重不足,因此,课堂中要营造理性思考以及“顿悟”的锲机,引导学生深入探究,积极思辨,灵活运用,融会贯通,形成良好而高效的思维品质和水平.
3.2.2数学课堂更需要“缜密推理”
无论是几何推理还是代数推理,都要遵循“缜密”原则,从中考的答题情况来看,因解题过程不够严谨造成的失分还是较为普遍的,由于初中阶段大多是演绎推理（也有用到不完全归纳等合情推理）,所以在教学中除了让学生掌握好应有的性质和判定定理外,教给学生一种能对具体的数学问题进行推理与判断的“缜密推理”方法也是至关重要的,“从已知到可知,从未知到需知”,俗称“打隧道”,即从问题的题设或结论入手,向各自方向找间接条件,当所要的条件与所能找到的条件一致时,“隧道”打通了,再将一步一步寻找的过程用数学符号呈现出来,就能实现逻辑推理的“缜密”性.
3.3注重数学思想方法的浸润
3.3.1由“形→数”向“数→形”转变
众所周知,小学低段的思维以形象思维为主导,通常是由具体图形中发现数（表象）,随着数学积累的不断增加,思维方式也逐渐发展到形式运算阶段,思维水平已超出具体的感知,进而进入抽象的形式思维,进入初中阶段,数形结合思想更着重于由数到形（抽象）的转变,因此教师在教学中需逐步渗透抽象思维的含量,将培养抽象思维能力放在非常重要的地位,如2019年安徽省中考第22题,解决这道压轴题的关键策略是将题目中的数（数学符号）转换为图象语言,再根据图象的性质和特征解决问题,所以在平时的教学中必須要注重“由数到形”的转换,尤其是中考复习阶段,更要加强这方面的训练,力求做到透过现象问本质,因为越掌握问题本质,抽象程度就越高,越能抵达问题实质,所以不能瞻前顾后、左顾右盼,担心学生达不到心智能力而降低思维水平的要求.
3.3.2抽象思维能力的训练是关键
抽象是人类获得自然界本质的内在认识的唯一思维工具和手段,列宁说：“认识是人对自然界的反应,但并不是直接的、简单的、完全的反应,而是一系列抽象思维的过程,即概念、规律等的构成、形成过程,”高中阶段的数学抽象首先体现在把实际问题抽象为数学模型,即将现实问题数学化,这种抽象能力在高中的数学活动中占有非常重要的地位,为了让学生在高中能够顺利适应数学学习,因此,初中的数学课堂也要有意识地引导学生对实际问题进行观察、实验、猜想、验证、归纳、证明,进而抽象为数学问题,即“用数学”的意识和本领,其中,运算、方程、函数以及图形的性质和判定等学习都是培养学生抽象思维能力的重要素材和手段,能促使学生学会发现、学会研究、学会学习.
总体而言,2019年安徽省中考第22题的考查暴露了考生在处理新题型上存在诸多问题,尤其暴露了教师在平时教学、乃至备考期问存在的功利性思想或行为,所以在教学中不仅要注重知识的教学,更多的要关注学生能力的培养,翻看历年的中考题也不难发现,未来的中考题型必定越来越丰富,对学生的能力要求也越来越高,所以对教师平时教学的要求也越来越高,需要教师从知识的传授者向能力的培养者转化,在数学课堂教学中注重数学语言的形式化转换、注重逻辑推理能力的培养,注重数学思想方法的浸润,使数学素养能够落地生根,使学生的思维能力在潜移默化中得到培养.
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分析引用文献:
