《趣说相交线和平行线》
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提起相交线和平行线,相信大家早已屡见不鲜.
相交线和平行线在生活中的应用俯拾皆是、数不胜数.
我国北宋科学家沈括在其著作《梦溪笔谈》中,记载了唐代著名科学家一行法师思考过的一个问题：围棋棋局千变万化,究竟有多少种变化呢?这得从围棋盘的具体构造说起,围棋盘上有互相平行的横线19条,互相平行的纵线19条,横线和纵线相交构成361个交叉点用于落子.一行法师认为：对于每一个交叉点,不外乎黑子、白子或空着三种可能情况,因此,361个交叉点就有3361种可能的变化,这是叫人叹为观止的天文数字,即便每一秒钟下一棋子,不停地下,要完成如此多的变化,也大约需要5.52x10164年.难怪有人感叹：纹枰十九路,千古无重局,
而下面这则“围棋盘上的直线”趣题也很耐人寻味：相交的19条横纵线把整個围棋盘分成324个小方格,那么,在棋盘上任意画一条直线,最多可以穿过多少个小方格?
要解答这个问题,许多人的直觉反应是实践操作一一画出围棋盘,然后在上面画直线,通过数数,得到穿过小方格的最多数目.这种想法看起来可行,可实际操作起来难免令人生疑：需要画几条直线才能保证穿过小方格数目最多的情形包含其中?如何确保最终确定的那条直线符合要求?即便是符合要求的直线,穿过的最多方格数也是操作的表面结果,其中蕴涵的数学原理是什么?因此,这种带有随机性的操作并不靠谱,而采用转化策略则显得科学合理.也就是说,把一个相对复杂的问题进行简化处理,从中找出规律后顺势解答.这是数学家在研究问题时常用的一种转化策略,下面就用这种思路进行分析.
先画一个简单的2x2田字格（如图1）,然后画一条直线尝试判断,很快就能断定,一条直线最多可以穿过3个小方格.
接下来,再画一个3x3九宫格（如图2）,然后画一条直线,不难发现,无论直线如何画.一条直线最多可以穿过5个小方格.
由此,我们寻找蕴涵的规律.在图2中,直线与田字格的交点记为A,B,C,D,这4个交点在田字格内把直线截成3段：AB,BC,CD.分别穿过3个小方格.在图4中,直线与九宫格的交点分别记为A1,A2,A3,A4,As,A6,这6个交点在九宫格内把直线截成5段：A1A2,A2A4,A3A4,A4A5,A5A6.分别穿过5个小方格,据此我们进行分析,
通过观察图1和图2,不论是田字格还是九宫格,画上去的直线与每条横线和纵线都只有1个交点,而与四周的4条边线只有2个交点.因此,总的交点数不能超过“横线数+纵线数-2”.对于田字格而言,3+3-2等于4,4个交点在田字格内把直线截成3段,所画直线最多穿过3个小方格,对于九官格而言.4+4-2等于6,6个交点在九宫格内把直线截成5段,所画直线最多穿过5个小方格,
由此可知,在围棋盘上任意画一条直线,可以断定：它与棋盘上的横线和纵线的交点个数最多是19+19-2等于36.这36个交点在19x19网格内把直线截成35段,所画直线最多穿过35个小方格.
接下来,再来说说平行线.基本可以肯定的是,只要提及平行线的实际应用,街道上随处可见的斑马线（如图3）就会浮现在大多数人的脑海中.
除了斑马线,许多人对于平行线的联想应该少不了那笔直伸向远方的铁轨,不仅两条铁轨平行,甚至连下面的枕木也有平行的特征.由于平行线之间的距离处处相等,所以细究铁轨间距就自然可行了.数据很明确,现代铁路的铁轨间距是4英尺8.5英寸,这个间距采用了电车轮距的标准,而电车轮距的标准则沿袭了马车的轮距标准.那马车的轮距为何是4英尺8.5英寸呢?原来,英国的马路辙的宽度是4英尺8.5英寸.如果马车改用其他尺寸的轮距,轮子很快就会在英国的老马路上撞坏.那英国的马路辙的宽度又从何而来?这必须上溯到古罗马时期,整个欧洲（包括英国）的老路都是罗马人为其军队铺设的,4英尺8.5英寸正是罗马战车的宽度,那罗马战车的宽度又是怎么来的?答案非常现实也非常简单,它是牵引一辆战车的两匹马的屁股的总宽度.
是不是有点意外?这一环套一环的“制约链”,阐述了一个令人啼笑皆非的事实：现代铁路的铁轨间距竟然由两匹马的屁股的总宽度所决定,由此就不难理解,代表尖端科技的火箭助推器的宽度为何也是4英尺8.5英寸.火箭助推器必须由铁路运送且会经过隧道,隧道的宽度又由铁轨的宽度而来,为了顺利安全地运输,所以火箭助推器的宽度只能为4英尺8.5英寸.
在19世纪的一次国际数学会议期间,一位法国数学家柳卡向在场的同行提出了一个问题：“轮船公司每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔港开往美国的纽约港,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约港开往勒阿佛尔港.轮船在途中都需要7天7夜.假定所有的轮船同速匀速且沿同一航线行驶,某艘从勒阿佛尔港开出的轮船,在到达纽约港时,能遇到几艘从纽约港开来的轮船?”据说这个问题立刻引起了与会者的浓厚兴趣,来自各国的数学家为此问题展开了广泛的探讨,以至于这个问题成为中心话题,甚至冲淡了数学会议的主题.因此,这则趣题在数学史上被称为“柳卡问题”.
如果你想当然认为“柳卡问题”极具难度,那可大错特错.事实上,即便是小学生也能顺利解决这个问题,而且解答方法并不唯一,极具开放性且让人耳目一新,其中柳卡提出的“平行线相交法”堪称最为简捷、最具意趣,也最为巧妙.
柳卡只是画出了如图4的“航线一日期”示意图,结果就一目了然.图中那条从左上往右下的斜线段,表示某艘轮船8号从勒阿佛尔港开出.15号到达纽约港的航线,而另外的一组平行线则表示从1号至15号从纽约港开出的若干艘轮船的航线,
不难看出,要判断这艘轮船遇到几艘从纽约港开来的轮船,实际上就是要数出这艘轮船的航线与其反方向的航线有多少个交点.显然共有15个,其中第一个交点表示这艘轮船8号刚从勒阿佛尔港开出时,与一艘1号从纽约港出发刚好进港的轮船相遇,最后一个交点则表示这艘轮船15号到达纽约港（8号从勒阿佛尔港出发）时,与一艘15号从纽约港出港的轮船相遇.其他13个交点表示这艘轮船途中相遇13艘从纽约港开出的轮船,因此,这艘轮船总共会碰上15艘从纽约港开来的轮船.
怎么样?行家一出手,就知有没有.柳卡借助平行线和相交线的直观图形巧解问题的数学智慧,果然叫人心悦诚服、啧啧称奇,
耐人寻味的是,相交线和平行线看上去界限分明,非此即彼,但在绘画、摄影作品中却移形换位.比如图5中平行的街道、路沿等,在作品上却是事实上的相交线,延伸后必相交于一点,这反而符合视觉上平行线的要求,恰到好处地反映出真实生动的远近*效果.
另外,两条直线不平行就相交的判断,隐含的前提是：两条直线在同一个平面内,这跟大家学习的三角形、平行四边形和梯形等一样,图形都在同一个平面内,所以统称平面图形,如果没有这个前提和限制,那么,两条直线的位置关系,除了相交、平行,其实还有一种叫“异面”,那是大家以后要学习的数学概念,但你在生活实际中可以轻易发现许多“异面直线”,有兴趣的同学不妨观察判断一番哟！
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