简介:该文是数学和微分方程方面学术论文怎么写和微分方程类硕士论文范文.
摘 要：给出常微分方程及其解的定义,重点介绍一阶微分方程的求解.总结了三大类常见的一阶微分方程,即变量可分离的微分方程、其次微分方程、一阶线性微分方程,介绍这三类常见微分方程的解法.
关键词：一阶微分方程;通解;特解
引言：
微分方程研究的来源：它的研究来源极广,历史久远.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时,指出了它们的互逆性,事实上这是解决了最简单的微分方程y'等于f（x）的求解问题.当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时,微分方程就大量地涌现出来.
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点.
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解.也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究.
后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解.当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来.
一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理.因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的;如果有解而又不是唯一的,那又不好确定.因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的.
大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解.当然,这个近似解的精确程度是比较高的.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.
通常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善.
一、微分方程及阶的定义
表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程,叫作微分方程.
n阶微分方程的一般形式为
F（x,y,y',等,y（n）） 等于0 （1）
标准形式为
y（n）等于f[x,y,y',等,y（n-1）] （2）
未知函数是一元函数y等于y（x）形式的微分方程称为常微分方程,未知函数是多元函数的叫做偏微分方程,其中导数实际出现的最高阶数n叫做该微分方程的阶.未知函数的导数最高阶数为1,即形如y'等于f（x,y）的微分方程称为一阶微分方程.
在形如方程（1）的常微分方程中如果右端函数F对未知函数y和它的个阶导数y',等,y（n）的全体而言是一次的,则称它是线性常微分方程,否则称它是非线性常微分方程.
方程
y（n）+a1（x）y（n-1）+等+an-1（x）y'+an（x）y等于f（x） （f（x）不恒等于0） （3）
称作n阶非齐次线性微分方程,f（x）称为自由项.
方程
y（n）+a1（x）y（n-1）+等+an-1（x）y'+an（x）y等于0（4）
称作n阶齐次线性微分方程.若其中的ai（x）（i等于1,2,. ,n）与方程（3）的完全一样,则称方程（4）为方程（3）对应的齐次线性微分方程.
本文总结了三大类常见的一阶微分方程,即变量可分离的微分方程、其次微分方程、一阶线性微分方程.
二、微分方程的解、通解、特解
如果函数y等于φ（x）代入（1）或者（2）,使得等式成立,即
F[x,φ（x）,φ'（x）,等,φ（n）（x）] 等于0或φ（n）（x）等于f[x,φ（x）,φ'（x）,等,φ（n-1）（x）]
成立,则称函数y等于φ（x）为微分方程（1）或（2）的解.如果解的表达式含有个数与方程阶数相等的独立常数（形如y等于φ（x,C1,C2,等,Cn）,其中C1,C2,等,Cn为任意常数）,则称其为通解.
可以确定通解中任意常数的条件称为定解条件.最常见的定解条件是初始条件,n阶方程（1）或（2）的初始条件为
y|x等于x0等于k0,y'|x等于x0等于k1,等 ,y（n-1）|x等于x0等于kn-1,
其中x0,k1,k2,等,kn-1是已知的,满足初始条件的解称为特解.
三、变量可分离的微分方程及其解法
定义：
如果微分方程P（x,y）dx+Q（x,y）dy等于0.
中的函数P（x,y）和Q（x,y）均可分别表示为x的函数与y的函数的乘积,则称为变量分离的方程.
解法：
令
P（x,y）等于X（x）Y1（y）,Q（x,y）等于X1（x）Y（y）,
变量分离的方程可以写成如下形式：
X（x）Y1（y）dx+X1（x）Y（y）dy等于0.
以因子X1（x）Y1（y）去除上式的兩侧,就得到
X（x）dx/X1（x）+Y（y）dy/Y1（y）等于0.
此方程的x与y互相分离,因此它的通积分为
参考文献：
[1]中公教育研究生考试研究院. 考研数学基础知识复习大全[M].北京：世界图书出版公司,2017：157-159.
[2]丁同仁,李承治. 常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社.2004.
作者简介：
叶汇闽（1998-）,女,汉族,四川省德阳市,本科,研究方向：数学.
李杰姣（1998-）,女,汉族,四川省雅安市,本科,研究方向：数学.
陈洁（1996-）,女,汉族,四川省德阳市,本科,研究方向：数学.
总结：上文总结,上述文章是一篇关于对不知道怎么写微分方程论文范文课题研究的大学硕士、数学和微分方程本科毕业论文数学和微分方程论文开题报告范文和文献综述及职称论文的作为参考文献资料.
微分方程引用文献:
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[3] 罗宾和微分方程论文范文资料 罗宾和微分方程相关硕士论文开题报告范文2500字
