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(1.黑龙江工程学院数学系 150050；2.哈尔滨广厦学院基础部 150025)
摘 要：样条函数是一类重要的逼近工具,在数值逼近、微分方程数值解等领域中均有较为广泛的应用.该文研究了样条空间中的样条函数在最小二乘法中的应用.我们利用该空间中正方形上的8节点样条元作为基函数去拟合二元函数,数值试验结果显示了方法的有效性.
关键词：二元样条 最小二乘法 数据拟合
中图分类号：P642.22 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2013)08（b）-0148-02
所谓样条函数就是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项式函数.各相邻段（片）上的多项式之间又具有某种连接性质.因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性,又在各段之间保持了相对独立的局部性质.随着计算机技术的发展,样条函数得到了迅速的发展和广泛的应用.
1975年,王仁宏在文献[1]中采用函数论与代数几何的方法,建立了任意剖分下多元样条函数的基本理论框架,并提出了所谓的光滑余因子协调法,从这种基本观点出发,多元样条函数的任何问题均可转化为与之等价的代数问题来研究.
最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配,常用于曲线或曲面拟合问题,参见文献[2].
1.中的样条在最小二乘法中的应用
二维和三维散乱数据拟合问题是近年来逼近理论中的活跃领域,它们广泛应用于许多实际问题,如数据处理,外型设计以等工程技术问题.以样条函数为工具的拟合方法有着独特的优点,已被证明是最有用的方法之一.该文利用文献[3]中提出的任意四边形上的8节点样条基函数,针对矩形区域讨论了此类二次样条函数在最小二乘法中的应用.
1.1 样条空间
假定是给定平面中多边形区域的一种非退化的凸四边形剖分.在的基础上,通过添加每个四边形的对角线,我们得到三角化的四边形剖分,记为.文献[3]讨论了上的二元二次样条空间,定义一个样条函数,满足下面两个连续性条件：(1)在四边形剖分线是连续；(2)在对角剖分线上是连续.样条空间具有很好的逼近性质,保持2次精度.
假设单位正方形被对角线分成4个小三角形,每个小三角形按照从下逆时针方向标号为.如图1所示.利用文献[3,4]的理论,经过计算可得正方形上的8个基函数.其中在这4个三角形上的分片多项式为
1.2 中的样条在最小二乘法中的应用
通过计算8个基函数在上述的9个网格点的函数值,我们可得8个基向量,如表1所示.
基向量依次是上表的第1行到第8行.通过作基向量与的内积可以得到二等分的法方程的系数阵.
若以作为实验函数.我们依次计算出函数在正方形网格点处的9个函数值,得到函数值向量,记为f：
再通过作与的内积,我们得到法方程右端的常数项向量b：
通过求解法方程,得到最小二乘法拟合的系数分别为
0.0124,0.0124,0.0189,0.0186,
-0.0618,0.4731,0.8411,-0.0649.
曲线拟合:1-6-A1 Fitting(函數擬合)的重要性
下面分析误差.我们算出函数在节点处的真实值和近似值如下表2和表3所示.令表示拟合函数值和函数真实值的最大偏差.经过计算,我们得到二等分时的最大偏差.类似地,我们经过计算把单位正方形每边三等分时的最大偏差.我们还尝试了其他的二元函数,经过数值试验发现,随着网格点的加密,拟合的精度越高.
参考文献
[1] 王仁宏,施锡泉,罗钟铉,等.多元样条函数及其应用[M].北京:科学出版社,1994.
[2] 李庆扬,关治,白峰杉.数值计算原理[M].北京:清华大学出版社,2000:37-66.
[3] Chong-JunLi,Ren-Hong Wang.A new 8-node quadrilateral spline finite element[j].Journal of Computational and Applied Mathematics,2006,195(1):54-65.
[4] 李崇君.特殊三角剖分上的多元样条及其应用[D].大连：大连理工大学,2004:1-99.
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曲线拟合引用文献:
[1] 曲线拟合和金针菇毕业论文怎么写 曲线拟合和金针菇专升本毕业论文范文2500字
[2] 曲线拟合论文范文集 曲线拟合方面有关大学毕业论文范文8000字
[3] 无人机和数据拟合学士学位论文范文 无人机和数据拟合方面有关论文范例2万字
